Pytanko dot. matematyki

herikon

Niektórzy być może spotkali się z określeniem "trójkąt Pascala" (nie mylić z trójkątem Pitagorasa). Chodzi w nim o to, że łatwo można wyliczyć "wskaźniki" (nie mogłem znaleźć odpowiedniejszego słowa) w równaniu postaci:
(a+b)^n
Zatem moje pytanie dotyczy tego czy istnieje naukowy odpowiednik taki, żeby można było wyliczyć wskaźniki w równaniu postaci:
(a+b+c)^n
Czy istnieje ostrosłup Pascala (lub innej osoby Jezyk

) opisujący to równanie

tomash_em

Bardzo ciekawy problem.
Generalnie wzór ogólny na (a+b+c)^n nie ma jakiegokolwiek zastosowania.
Rzadko kiedy pojawia się na konkursach matematycznych, nie spotkałem się z zadaniem, w którym należałoby znać wzór dla n innego niż 2.

Natomiast wzór (a+b)^b pojawia się w wielu dziedzinach matematyki, w szczególności w kombinatoryce i w rachunku prawdopodobieństwa, i ma on bardzo duże zastosowanie.

Dlatego może właśnie nie powstało coś takiego jak sześcian Pascala.

Nic nie stoi na przeszkodzie, aby taki sześcian utworzyć.

Ponieważ rysunek jest bardzo skomplikowany, wrzucam tylko rysunek dla n = 0, 1, 2.

Generalna zasada otrzymywania współczynników jest taka:
Jeśli węzeł ma tylko jednego "ojca" (jest na krawędzi ostrosłupa), to jest równy 1 (są to współczynniki przy a^n, b^n, c^n zawsze równe 1). Jeśli węzeł ma dwóch "ojców" (jest przy ścianie ostrosłupa, ale nie na krawędzi, współczynniki przy wyrazach postaci a^x*b^y, b^x*c^y, c^x*a^y) lub ma ich trzech (wnętrze ostrosłupa, współczynniki przy a^x*b^y*c^z), to jest sumą swoich ojców (odpowiednio dwóch i trzech).

Jak szukać współczynników przy odpowiednich wyrazach, przedstawia myślę, że zrozumiały rysunek:

Jest to poziom ostrosłupa dla n = 3.
Współczynnika przy a^x*b^y*c^z (x + y + z = n) szukamy na przecięciu prostych a = x, b = y, c = z.

Podobnie jak znamy wzór ogólny na współczynnik przy a^x*b^y (x + y = n), we wzorze na (a + b)^n, można również wyprowadzić wzór na współczynnik przy a^x*b^y*c^z (x + y + z = n) we wzorze na (a+b+c)^n i jest to n! / (x! * y! * z!), gdzie n! = 1 * 2 * ... * n i 0! = 1.

Poprawność otrzymanych współczynników można dowieść poprzez prosty dowód indukcyjny...

herikon

tomash_em